Điều kiện xác định của phương trình là kiến thức cơ bản có trong Toán lớp 10. Dưới đây chúng ta cùng ôn lại những lý thuyết cần nhớ về điều kiện xác định của phương trình và bài tập.
Mục Lục
Khái niệm phương trình một ẩn
Cho hai hàm số như sau: y = f(x) và y = g(x) có tập xác định lần lượt sẽ là D1 và D2.
Đặt D = D1 ∩ D2. Mệnh đề chứa biến “f(x) = g(x)” được gọi là phương trình một ẩn, x gọi là ẩn và D gọi là tập xác định của phương trình.
Số x0 ∈ D gọi là một nghiệm của phương trình f(x) = g(x) nếu “f(x0) = g(x0)” là một mệnh đề đúng.
Phương trình tương đương
Xem ngay: điều kiện để phương trình có nghiệm để biết thêm thông tin
Hai phương trình được cho là hai phương trình tương đương khi và chỉ khi chúng có cùng chung một tập nghiệm. Nếu phương trình f1(x) = g1(x) tương đương với phương trình f2(x) = g2(x) thì ta sẽ viết như sau:
f1(x) = g1(x) ⇔ f2(x) = g2(x)
Định lý: Cho hai phương trình f(x) và g(x), cho f(x) = g(x) có tập xác định kí hiệu D và y = h(x) là một hàm số xác định trên tập D. Khi đó trên miền xác định D, phương trình đã cho sẽ tương đương với mỗi phương trình sau đây:
(1) f(x) + h(x) = g(x) + h(x)
(2) f(x).h(x) = g(x).h(x) với h(x) ≠ 0, ∀x ∈ D.
Phương trình hệ quả
Phương trình f1(x) = g1(x) có tập nghiệm kí hiệu là S1 được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f2(x) = g2(x) có tập nghiệm kí hiệu là S2 nếu S1 ⊂ S2.
Khi đó viết: f1(x) = g1(x) ⇔ f2(x) = g2(x)
Định lý:
Khi bình phương cả hai vế của một phương trình, ta được phương trình hệ quả của phương trình đã cho như sau: f(x) = g(x) ⇒ 2 = 2
Lưu ý:
– Nếu hai vế của một phương trình luôn luôn cùng dấu thì khi ta bình phương hai vế của nó, ta sẽ có được một phương trình tương đương.
– Nếu như phép biến đổi tương đương dẫn đến phương trình hệ quả, ta sẽ phải thử lại các nghiệm tìm được vào phương trình đã cho để phát hiện ra và loại bỏ đi những nghiệm ngoại lai.
Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Phương trình chứa ẩn ở mẫu là phương trình có biểu thức chứa ẩn ở vị trí mẫu số.
Ví dụ:
2/(x + 3) = 0 là phương trình chứa ẩn ở mẫu (ẩn x)
2 – [4/(y² + 2y + 7)] = 0 là phương trình chứa ẩn ở mẫu (ẩn y)
Ta thấy, việc tìm điều kiện xác định là rất quan trọng trong việc tìm nghiệm của một phương trình. Sau đây, chúng tôi sẽ hướng dẫn phương pháp tìm điều kiện xác định của một phương trình.
Phương pháp tìm điều kiện xác định của phương trình
– Điều kiện xác định của phương trình là điều kiện các giá trị của ẩn trong phương trình f(0) được xác định.
Điều kiện xác định của phương trình viết tắt là ĐKXĐ.
– Điều kiện để biểu thức xác định là:
- √f(0) xác định khi f(0) ≥ 0
- 1/f(0) xác định khi f(0) ≠ 0
- 1/√f(0) xác định khi f(0) > 0
Bài tập ví dụ
Click ngay: điều kiện để phương trình bậc 3 có 3 nghiệm để biết thêm thông tin
Câu 1: Tất cả các giá trị của ẩn x để biểu thức √(x – 3) có nghĩa là:
- A) x < 3
- B) x ≤ 3
- C) x > 3
- D) x ≥ 3
Đáp án chính xác là: D
Câu 2: Điều kiện xác định của biểu thức √(x – 8) là:
- A) x ≥ 8
- B) x > 8
- C) x < 8
- D) x ≤ 8
Đáp án chính xác là: A
Câu 3: Biểu thức √(2x – 8) có nghĩa khi và chỉ khi:
- A) x ≤ -4
- B) x ≤ 4
- C) x ≥ -4
- D) x ≥ 4
Đáp án chính xác là: D
Câu 4: Với x > 0, thì biểu thức nào trong những biểu thức sau đây luôn có nghĩa?
- A) √(2 – x)
- B) √(x – 2)
- C) √(2x)
- D) √(-2x)
Đáp án chính xác là: C
Câu 5: Tất cả các giá trị của x để biểu thức √(-x² + 6x – 9) xác định là:
- A) x = 6
- B) x > 3
- C) x = 3
- D) x = -3
Đáp án chính xác là: C
Câu 6: Điều kiện xác định của biểu thức √[2017/(x – 2018)] là:
- A) x ≥ 2018
- B) x ≠ 2018
- C) x > 2018
- D) x < 2018
Đáp án chính xác là: C
Câu 7: Biểu thức √(1 – y²) xác định khi và chỉ khi:
- A) y ≤ 1
- B) y ≥ 1
- C) -1 ≤ y ≤ 1
- D) y ≠ 1
Đáp án chính xác là: C
Câu 8: Điều kiện của x để biểu thức √(3 – x) có nghĩa là:
- A) x < 3
- B) x ≤ 3
- C) x > 3
- D) x ≥ 3
Đáp án chính xác là: B
Câu 9: Điều kiện của x để biểu thức √(3x – 6) có nghĩa là:
- A) x ≥ -1/2
- B) x ≥ 2
- C) x ≥ -2
- D) x ≥ 1/2
Đáp án chính xác là: B
Câu 10: Tìm tất cả các giá trị của x để biểu thức P = √(x – 2) được xác định:
- A) x < 2
- B) x > 2
- C) x ≥ 2
- D) x ≤ 2
Đáp án chính xác là: C
Câu 11: Để biểu thức P(x) = √(2019 – 3x) + x – 2020 có nghĩa khi:
- A) x ≥ 673
- B) x ≠ 2020
- C) x ≤ 673
- D) x < 2019
Đáp án chính xác là: C
Câu 12: Điều kiện để biểu thức M = 1/(√x – 1) xác định là:
- A) x > 1
- B) x > 0
- C) x > 0; x ≠ 1
- D) x ≥; x ≠ 1
Đáp án chính xác là: D
Câu 13: Chọn phát biểu SAI:
- Biểu thức có nghĩa nghĩa khi và chỉ khi x ≥ 3.
- Biểu thức có nghĩa nghĩa khi và chỉ khi x ≤ 7.
- Biểu thức có nghĩa nghĩa khi và chỉ khi x ≠ 11.
- Biểu thức có nghĩa nghĩa khi và chỉ khi 1 ≤ x < 2.
ĐÁP ÁN
Biểu thức có nghĩa nghĩa khi và chỉ khi 3x – 9 ≥ 0, nghĩa là x ≥ 3.
Biểu thức có nghĩa nghĩa khi và chỉ khi 7 – x > 0, nghĩa là x < 7.
Biểu thức có nghĩa nghĩa khi và chỉ khi x – 11 ≠ 0, nghĩa là x ≠ 11.
Biểu thức có nghĩa nghĩa khi và chỉ khi 3x – 3 ≥ 0 và 2 – x > 0, nghĩa là 1 ≤ x < 2.
Chọn đáp án B.
Câu 14: Điều kiện xác định của phương trình là:
- x = 7
- x ≥ 7
- x ≤ 7
- Không có giá trị nào của x thỏa mãn điều kiện của phương trình
ĐÁP ÁN
Ta có
+ Biểu thức bên vế trái của phương trình đã cho có nghĩa khi và chỉ khi 7 – x ≥ 0 hay x ≤ 7.
+ Biểu thức bên vế phải của phương trình đã cho có nghĩa khi và chỉ khi x – 7 ≥ 0 hay x ≥ 7.
Suy ra, điều kiện xác định của phương trình đã cho là: x ≤ 7 và x ≥ 7, nghĩa là x = 7.
Chọn đáp án A.
Trên đây là điều kiện xác định của phương trình và bài tập ví dụ để các em ôn tập. Chúc các em học tốt cùng môn Toán!