Điều kiện để phương trình bậc 3 có 3 nghiệm rất đơn giản nếu như các em biết cách làm đúng. Cùng tìm hiểu điều kiện để phương trình bậc 3 có 3 nghiệm qua bài viết dưới đây.
Mục Lục
Điều kiện để phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt
Để phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt, ta cần giải phương trình f(x) = 0, trong đó f(x) là hàm số bậc 3.
Bước 1: Viết hàm số bậc 3 dưới dạng f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c.
Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số f(x) theo x và giải phương trình f\'(x) = 0 để tìm các điểm cực trị.
Bước 3: Kiểm tra hàm số f(x) có hai điểm cực trị hay không. Nếu không có hoặc có một điểm cực trị, thì phương trình bậc 3 sẽ không có ba nghiệm phân biệt.
Bước 4: Tìm giá trị của f(x) tại các điểm cực trị vừa tính được.
Bước 5: Kiểm tra dấu của f(x) tại các khoảng giá trị giữa các điểm cực trị. Nếu có ít nhất một khoảng giá trị mà f(x) < 0, thì phương trình bậc 3 sẽ có ba nghiệm phân biệt.
Bước 6: Tìm giá trị của tham số m để các điểm cực trị và khoảng giá trị thỏa mãn các điều kiện đã tìm được ở các bước trên.
Điều kiện để phương trình bậc 3 có 3 nghiệm
Xem ngay: các trang web học tập để biết thêm thông tin
Ví dụ:
Tìm các giá trị của tham số m để phương trình y = x^3 + 3mx^2 + 3x^2 + 9m – 1 có ba nghiệm phân biệt.
Bước 1: Hàm số bậc 3 được viết dưới dạng f(x) = x^3 + (3m+3)x^2 + (9m-1).
Bước 2: Tính đạo hàm của f(x), ta được f\'(x) = 3x^2 + 6mx + 6x. Giải phương trình f\'(x) = 0 ta được x = 0 hoặc x = -2m ± √(4m^2 – 3).
Bước 3: Ta có hai điểm cực trị x = 0 và x = -2m ± √(4m^2 – 3).
Bước 4: Tính giá trị của f(x) tại các điểm cực trị:
f(0) = 9m – 1
f(-2m + √(4m^2 – 3)) = (4m – √(4m^2 – 3))^3 + (3m + 3)(4m – √(4m^2 – 3))^2 + 9m – 1
f(-2m – √(4m^2 – 3)) = (4m + √(4m^2 – 3))^3 + (3m + 3)(4m + √(4m^2 – 3))^2 + 9m – 1
Bước 5: Kiểm tra dấu của f(x) tại các khoảng giá trị giữa các điểm cực trị.
– Tại khoảng giá trị (-∞, -2m – √(4m^2 – 3)), f(x) < 0 khi m > 1/2.
– Tại khoảng giá trị (-2m – √(4m^2 – 3), -2m + √(4m^2 – 3)), f(x) > 0 khi m > 1/2.
– Tại khoảng giá trị (-2m + √(4m^2 – 3), 0), f(x) < 0 khi m > 1/2.
– Tại khoảng giá trị (0, +∞), f(x) > 0 khi m > 1/2.
Bước 6: Tìm giá trị của tham số m để các điểm cực trị và khoảng giá trị thỏa mãn các điều kiện đã tìm được ở các bước trên. Ta tìm được m > 1/2. Vậy các giá trị của m để phương trình bậc 3 có ba nghiệm phân biệt là m > 1/2.
Phương trình bậc 3 có thể có bao nhiêu nghiệm phụ thuộc vào những yếu tố nào?
Phương trình bậc 3 có thể có từ 1 đến 3 nghiệm phụ thuộc vào hệ số và các yếu tố khác nhau của phương trình. Để phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt, ta có thể thực hiện các bước sau:
1. Viết phương trình bậc 3 dưới dạng tổng quát: ax^3 + bx^2 + cx + d = 0
2. Sử dụng công thức tính delta để tính toán giá trị delta = b^2 – 3ac
3. Nếu delta > 0, phương trình có ba nghiệm phân biệt.
4. Để đảm bảo phương trình có 3 nghiệm phân biệt, ta cần điều kiện a, b, c, d thỏa mãn như sau:
– a khác 0
– delta > 0
– a^2b^2c^2 – 4a^3c^3 – 4b^3a^3d + 18a^2bcd – 27d^2a^4 < 0
Với công thức trên, ta có thể tìm được các giá trị của a, b, c, d để phương trình có ba nghiệm phân biệt.
Click ngay: điều kiện để phương trình có 2 nghiệm trái dấu để biết thêm thông tin
Làm thế nào để tính toán và xác định các nghiệm của phương trình bậc 3?
Để tính toán và xác định các nghiệm của phương trình bậc 3, chúng ta có thể làm như sau:
Bước 1: Viết phương trình bậc 3 thành dạng chung ax^3 + bx^2 + cx + d = 0.
Bước 2: Tính delta bằng cách dùng công thức delta = b^2 – 4ac.
Bước 3: Nếu delta < 0, phương trình sẽ có một nghiệm thực và hai nghiệm ảo. Nếu delta > 0, phương trình sẽ có ba nghiệm thực phân biệt.
Bước 4: Để tìm các nghiệm của phương trình, có thể áp dụng các phương pháp như dùng định lý Viète, dùng đồ thị hàm số hoặc dùng phương pháp khác tuỳ từng trường hợp cụ thể.
Như vậy với bài viết trên chúng ta đã biết được điều kiện để phương trình bậc 3 có 3 nghiệm. Chúc các bạn thành công!
